Mười vạn câu hỏi vì sao là bộ sách phổ cập khoa học dành cho lứa tuổi thanh, thiếu niên.
Bộ sách này dùng hình thức trả lời hàng loạt câu hỏi "Thế nào?", "Tại sao?" để trình bày một
cách đơn giản, dễ hiểu một khối lượng lớn các khái niệm, các phạm trù khoa học, các sự vật, hiện
tượng, quá trình trong tự nhiên, xã hội và con người. Mục đích của cuốn sách giúp cho người đọc
hiểu được các lí lẽ khoa học tiềm ẩn trong các hiện tượng, quá trình quen thuộc trong đời sống
thường nhật, tưởng như ai cũng đã biết nhưng không phải người nào cũng giải thích được.
Bộ sách được dịch từ nguyên bản tiếng Trung Quốc của Nhà xuất bản Thiếu niên Nhi đồng
Trung Quốc. Do tính thiết thực tính gần gũi về nội dung và tính độc đáo về hình thức trình bày
mà ngay khi vừa mới xuất bản ở Trung Quốc, bộ sách đã được bạn đọc tiếp nhận nồng nhiệt, nhất
là thanh thiếu niên, tuổi trẻ học đường. Do tác dụng to lớn của bộ sách trong việc phổ cập khoa
học trong giới trẻ và trong xã hội, năm 1998, Bộ sách Mười vạn câu hỏi vì sao đã được Nhà
nước Trung Quốc trao "Giải thưởng Tiến bộ khoa học kĩ thuật Quốc gia", một giải thưởng
cao nhất đối với thể loại sách phổ cập khoa học của Trung Quốc và được vinh dự chọn là một
trong "50 cuốn sách làm cảm động Nước Cộng hoà" kể từ ngày thành lập nước.
Bộ sách Mười vạn câu hỏi vì sao có 12 tập, trong đó 11 tập trình bày các khái niệm và các
hiện tượng thuộc 11 lĩnh vực hay bộ môn tương ứng: Toán học, Vật lí, Hoá học, Tin học,
Khoa học môi trường, Khoa học công trình, Trái Đất, Cơ thể người, Khoa học vũ trụ,
Động vật, Thực vật và một tập Hướng dẫn tra cứu. ở mỗi lĩnh vực, các tác giả vừa chú ý cung
cấp các tri thức khoa học cơ bản, vừa chú trọng phản ánh những thành quả và những ứng dụng mới
nhất của lĩnh vực khoa học kĩ thuật đó. Các tập sách đều được viết với lời văn dễ hiểu, sinh động,
hấp dẫn, hình vẽ minh hoạ chuẩn xác, tinh tế, rất phù hợp với độc giả trẻ tuổi và mục đích phổ cập
khoa học của bộ sách.
Do chứa đựng một khối lượng kiến thức khoa học đồ sộ, thuộc hầu hết các lĩnh vực khoa học
tự nhiên và xã hội, lại được trình bày với một văn phong dễ hiểu, sinh động, Mười vạn câu hỏi
vì sao có thể coi như là bộ sách tham khảo bổ trợ kiến thức rất bổ ích cho giáo viên, học sinh, các
bậc phụ huynh và đông đảo bạn đọc Việt Nam.
Trong xã hội ngày nay, con người sống không thể thiếu những tri thức tối thiểu về văn hóa,
khoa học. Sự hiểu biết về văn hóa, khoa học của con người càng rộng, càng sâu thì mức sống,
mức hưởng thụ văn hóa của con người càng cao và khả năng hợp tác, chung sống, sự bình đẳng
giữa con người càng lớn, càng đa dạng, càng có hiệu quả thiết thực. Mặt khác khoa học hiện đại
đang phát triển cực nhanh, tri thức khoa học mà con người cần nắm ngày càng nhiều, do đó, việc
xuất bản Tủ sách phổ biến khoa học dành cho tuổi trẻ học đường Việt Nam và cho toàn xã hội
là điều hết sức cần thiết, cấp bách và có ý nghĩa xã hội, ý nghĩa nhân văn rộng lớn. Nhận thức
được điều này, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam cho xuất bản bộ sách Mười vạn câu hỏi vì sao
và tin tưởng sâu sắc rằng, bộ sách này sẽ là người thầy tốt, người bạn chân chính của đông đảo
thanh, thiếu niên Việt Nam, đặc biệt là học sinh, sinh viên trên con đường học tập, xác lập nhân
cách, bản lĩnh để trở thành công dân hiện đại, mang tố chất công dân toàn cầu.
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

1. Phải chăng số 0 chỉ có nghĩa là không có?
Trong một lớp học, thầy giáo dạy toán đặt ra cho học sinh một bài toán: “ở một cửa hàng bán
máy tính vào đầu tuần có 20 máy tính. Trong suốt một tuần cửa hàng chỉ có bán kiểu máy tính này
mà không hề nhập một máy nào. Vậy nếu cửa hàng sẽ còn bao nhiêu máy tính kiểu này khi đã bán
hết 20 cái. Các học sinh nhanh chóng cho câu trả lời: 20 cái - 20 cái = 0. Ở đây ta có một định
nghĩa về số 0: “số 0 có nghĩa là không có gì”.
Như vậy thông thường số 0 có nghĩa là không có. Thế nhưng có phải số 0 chỉ hàm ý là không
có, liệu ngoài ý nghĩa không có, số không có còn hàm ý gì khác nữa không?
Trong cuộc sống hàng ngày, nhiệt độ không khí ngoài trời luôn thay đổi theo thời tiết, theo
mùa. Vào mùa đông, nhiệt độ ngoài trời ở các xứ lạnh thường thay đổi trên dưới 0°C. Vậy thì 0°C
liệu có còn có nghĩa là không có nhiệt độ? Đương nhiên không phải như vậy. Nếu như 0°C (nhiệt
độ theo thang đo Celsius) có nghĩa là không có nhiệt độ thế thì 0°F (nhiệt độ đo theo thang
Fahrenheit) sẽ hàm ý điều gì, có phải lại có nghĩa không có nhiệt độ? 0°F chính là nhiệt độ thấp
hơn 0°C 177°/9 , còn 0°C là nhiệt độ cao hơn 0°F 177°/9 mà không thể nói 0° là không có nhiệt độ.
Thế thì ta phải giải quyết mâu thuẫn này như thế nào đây?
Bản thân số 0 có đầy rẫy mâu thuẫn. Nếu đứng từ quan điểm tác dụng của số 0 mà xét thì khi
làm phép tính cộng nhiều lần số không với nhau thì tổng số thu được vẫn là số 0. Thế có phải số 0
là số quá bé không? Mặt khác chúng ta biết là số 0 có ảnh hưởng rất lớn. Dù cho một tích số có bao
nhiêu thừa số đi nữa chỉ cần có một thừa số là số 0 thì tích số thu được sẽ bằng 0. Bạn thấy số 0 ảnh
hưởng có lớn không? Những mâu thuẫn loại này trong toán học không phải ít. Để giải quyết mâu
thuẫn này, chúng ta cần biết tính tương đối của các khái niệm toán học, các khái niệm toán học
không phải là bất biến mà luôn thay đổi. Đối với học sinh tiểu học thì số 0 có nghĩa là không có,
còn đối với học sinh bậc trung học thì số 0 có thể hàm ý một sự khởi đầu. Khi tiến hành các phép
tính số học, số 0 có vai trò rất lớn. Trong các máy tính điện tử thì vai trò của số 0 lại càng lớn vì
trong máy tính điện tử các phép toán được thực hiện theo hệ đếm cơ số 2, bất kì các phép tính nào
đều thực hiện dựa vào số 0 và số 1.
Từ khoá: Số 0.

2. Có phải số 0 là số chẵn?
Chúng ta đã biết trong các phép toán ở bậc tiểu học người ta gọi một số chia hết cho 2 là số
chẵn, một số không chia hết cho 2 là số lẻ. Thế thì số 0 là số chẵn hay số lẻ. Khi ta nói đến số chẵn
hay số lẻ nói chung là để dành cho các số tự nhiên. Số 0 không phải là số tự nhiên nên tạm thời
không bàn đến. Thế nhưng có thể nghiên cứu vấn đề này không? Câu trả lời là không chỉ có thể
nghiên cứu mà cần phải nghiên cứu. Không những cần nghiên cứu số 0 không phải là số tự nhiên
duy nhất đã học trong thuật toán mà sau khi học đại số ở bậc trung học còn phải mở rộng khái
niệm số chẵn - lẻ đến phạm vi các số âm.
Tiêu chuẩn xem xét cũng khá đơn giản: Phàm các số chia hết được cho 2 là số chẵn, số không
chia hết cho 2 là số lẻ.

Cần nhấn mạnh khái niệm chia hết khi thương số là số nguyên mà phép chia không có số dư.
Hiển nhiên 0 : 2 = 0, thương số 0 thu được là số nguyên nên số không là số chẵn. Tương tự, các số:
-2, -4, -6, -8, -10, -360, -2578,...là các số chẵn, còn các số -1, -3, -5, -7, -249,-1683 v.v...là các số lẻ.
Từ khoá: Số 0 là số chẵn hay số lẻ.

3. Vì sao trong cuộc sống hằng ngày người ta lại dùng
hệ đếm thập phân?
Số tự nhiên được ra đời một cách hết sức “tự nhiên”. Từ thời xa xưa nhân dân lao động cần
đếm số súc vật bắt được “1, 2, 3, 4,...” dần dần xuất hiện số tự nhiên. Thế nhưng làm thế nào để gọi
tên và ghi lại từng số tự nhiên riêng biệt thì lại là vấn đề không tự nhiên chút nào. Khi người ta
nhận biết các số đến “10” và dùng các tên gọi và ghi từng số riêng biệt thì là việc không khó lắm.
Thế nhưng khi người ta biết đếm đến số “trăm”, “ngàn”, “vạn” thì nếu cứ theo cách cũ mà gọi tên
chúng là “một trăm cái, một ngàn cái, một vạn cái và dùng các kí hiệu riêng biệt để ghi lại thì hầu
như trở nên không thể được. Đã không ít người lao tâm khổ tứ tìm cách gọi tên và tìm các kí hiệu
để ghi lại, thì ngay bản thân họ cũng không nhớ và ghi được chính xác các kí hiệu đó, chưa nói là
dùng chúng trong việc tính toán. Trong tình hình đó việc tìm ra cách ghi và gọi tên theo cách thức
“hệ đếm theo cơ số” là một phát minh vĩ đại.
Theo ngôn ngữ toán học hiện đại, hệ đếm theo cơ số là nếu chọn trước một số tự nhiên p > 1 và
nếu có một số tự nhiên A thoả mãn điều kiện pn ≤ A ≤ pn+1, ta có thể biểu diễn A dưới dạng:
A = a0 + a1p + a2p2 + a3pn (an ≠ 0).
trong đó 0 ≤ ai ≤ p
Vì p quyết định bước tiến của dãy số nên người ta gọi p là cơ số của hệ đếm. Nếu chọn trước p
số tự nhiên và ghi theo thứ tự từ 0 đến p-1, trong đó p là cơ số của hệ đếm tự nhiên thì ta có thể
dùng phương pháp “ghi số theo vị trí” và số A đã cho ở trên có thể viết thành A = anan-1 ...a1a0,
trong đó ai là một trong p kí hiệu đã chọn. Phương pháp “ghi theo vị trí” được phát minh sớm nhất
ở Trung Quốc, là một trong những cống hiến quan trọng của các nhà toán học cổ Trung Quốc.
Cách mô tả vừa trình bày trên đây quả thực không dễ hiểu lắm. Thế nhưng các bạn hãy tưởng
tượng p được chọn là 10. Bây giờ chúng ta dùng các con số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 là các kí hiệu
các chữ số từ 0 đến 10. Dùng các chữ số này ta có thể ghi bất kì số tự nhiên nào theo phương pháp
“ghi theo vị trí”. Ví dụ với số 347804, thực tế đây chính là số:
4 + 0 × 10 + 8 × 102 + 7 × 103 + 4 × 104 + 3 × 105

Dễ dàng nhận thấy điều kì diệu của hệ đếm theo cơ số là có thể dùng một số hữu hạn các kí
hiệu để biểu diễn vô hạn các số lớn đến bao nhiêu cũng được, cũng như dễ dàng nhận biết các số
lớn nhỏ và rất tiện lợi khi thực hiện các phép toán số học. Việc phát minh hệ đếm theo cơ số làm
cho nhận thức của loài người với các con số đạt đến một trình độ mới.
Các bạn cũng dễ dàng nhận thấy có thể dùng bất kì một số tự nhiên p bất kì để làm cơ số cho
một hệ đếm nhưng thông thường trong cuộc sống hằng ngày người ta vẫn hay dùng “hệ đếm cơ số
10” hay “hệ đếm thập phân”. Các bạn cũng dễ dàng nhận thấy là người xưa chắc đã không dùng
cách mô tả trừu tượng như đã trình bày ở trên để định nghĩa hệ đếm thập phân. Thế tại sao hệ đếm
thập phân lại được toàn thể loài người chấp nhận ngay từ đầu?
Thực ra điều này có lí do hết sức đơn giản, đó là do hai tay của chúng ta có 10 ngón.
Trong thời đại xa xưa, trình độ sản xuất vốn rất thấp, chỉ cần những số đếm đơn giản, 10 ngón
tay tự nhiên trở thành một “máy tính” sớm nhất. Trong sách xưa từng có thành ngữ “đếm trên đầu
ngón tay” (co ngón tay để đếm) nên có thể thấy “co ngón tay” đếm số là cách đếm ra đời sớm nhất.
Thói quen này vẫn còn vết tích trong đời sống xã hội ngày nay: Các em nhỏ ở các vườn trẻ vẫn
thường dùng ngón tay để đếm số; những người lớn khi nói chuyện với nhau vẫn dùng các ngón tay
để ra dấu về các con số nào đó. Khi trình độ sản xuất đạt đến trình độ cao, thành tựu lao động đã
đạt đến số lớn và vượt qua con số 10. Bấy giờ việc dùng “ngón tay đếm số” đã không còn thích hợp
nữa. Thế nhưng con người vẫn chưa từ bỏ thói quen dùng ngón tay để đếm số và thường thuận tay
dùng ngón tay để làm “máy tính” với việc có thể dùng thêm công cụ để trợ giúp, ví dụ có thể dùng
những viên đá, cành cây thay thế khi các ngón tay đã sử dụng hết để có thể dùng lại các ngón tay
để đếm. Sau nhiều lần lặp đi, lặp lại cách tính toán, tổng kết kinh nghiệm, loài người đã phát minh
hệ đếm thập phân.
Như vậy có thể thấy tổ tiên của con người, do nhu cầu của đời sống, sản xuất, xuất phát từ điều
kiện của bản thân mình, không ngừng tích luỹ kinh nghiệm, tổng kết kinh nghiệm mà đã phát
minh hệ đếm thập phân. Do hệ đếm thập phân có mối liên hệ tự nhiên với cuộc sống, nên đã được
xã hội loài người tiếp thu, truyền bá và trở thành một bộ phận không thể tách rời với cuộc sống của
chúng ta.
Trong lịch sử xã hội loài người, người ta còn thấy có nhiều hệ đếm khác. Ví dụ khi nói đến việc
đo độ, người ta hay dùng “hệ đếm cơ số 60”; một độ có 60 phút, một phút có 60 giây; Trong hệ
thống cân đo cũ ở Trung Quốc, người ta dùng đơn vị một cân có 16 lạng - đó là “hệ đếm cơ số 16”;
trong bát quái dùng cả hai hệ đếm “nhị phân” và “hệ đếm cơ số 8”. Ở một số nước còn có “hệ đếm
cơ số 12”: cứ 12 vật phẩm gọi là một tá, 12 tá gọi là một “rá”. Đương nhiên là các hệ đếm vừa kể chỉ
được sử dụng trong một số lĩnh vực hẹp và hạn chế (về không gian, địa điểm), không được hoàn
thiện và rộng rãi như hệ đếm thập phân.
Ngày nay loài người đã bước vào thời đại của các máy tính điện tử, thời đại của công nghệ
thông tin. Điều dễ cảm nhận là máy tính điện tử không có mối liên hệ tự nhiên với hệ đếm thập
phân như ở con người với hệ đếm thập phân, máy tính điện tử lại có mối liên hệ tự nhiên với hệ
đếm cơ số hai hay hệ đếm nhị phân.
Từ khoá: Hệ đếm thập phân.

4. Vì sao máy tính điện tử lại cần hệ đếm nhị phân?
Vì trên hai bàn tay có 10 ngón tay mà loài người đã phát minh ra hệ đếm thập phân. Máy tính
điện tử rõ ràng không có mối liên hệ tự nhiên với hệ đếm thập phân vì về mặt lí luận cũng như ứng
dụng thật khó có mối liên hệ trực tiếp, liên thông với hệ đếm thập phân. Nhưng tại sao máy tính
điện tử và hệ đếm thập phân không có mối liên hệ tự nhiên? Mối quan hệ tự nhiên giữa máy tính
và cách ghi số là ở chỗ nào?

Để giải đáp câu hỏi này ta phải xuất phát từ nguyên lí hoạt động của máy tính. Máy tính điện
tử làm việc được nhờ có dòng điện. Xét một tiếp điểm trong mạch điện tử chỉ có hai trạng thái liên
quan đến sự cho dòng điện chạy qua mạch: đóng mạch và mở mạch. Máy tính lưu giữ thông tin
nhờ băng từ hoặc đĩa từ: với đĩa từ ở mỗi điểm ghi chỉ có hai trạng thái: được từ hoá và không được
từ hoá. Trong những năm gần đây phương pháp ghi thông tin trên đĩa quang ngày càng phổ biến.
Mỗi điểm ghi trên đĩa quang chỉ có hai trạng thái: hoặc lõm hoặc lồi có tác dụng khác nhau rõ rệt
hoặc tụ ánh sáng hoặc gây tán xạ ánh sáng. Do vậy có thể thấy nếu máy tính ghi nhận thông tin
thông qua các phương tiện trung gian thì đều thông qua hai trạng thái của các phương tiện trung
gian. Người ta chứng minh được rằng nếu dùng máy tinh ghi số theo hệ đếm thập phân sẽ gây khá
nhiều lãng phí. (Ví như để ghi một số có một chữ số theo hệ đếm thập phân ít nhất cần đến bốn
điểm ghi - có thể đến 16 trạng thái - và có đến sáu trạng thái không được sử dụng).
Thế thì máy tính điện tử cần ghi số theo hệ đếm nào? Xuất phát từ hệ quả mỗi phương tiện
trung gian đều có các điểm ghi thông tin ứng với hai trạng thái, nên điều dễ thấy là dùng hệ đếm
nhị phân sẽ có sự thích hợp tự nhiên.

Trong hệ đếm nhị phân, để ghi các con số chỉ cần hai kí hiệu 0 và 1. Có thể dùng số 1 biểu diễn
cho qua dòng điện và 0 biểu diễn sự ngắt dòng điện; hoặc 1 là trạng thái bị từ hoá và 0 là trạng thái
không bị từ hoá; hoặc 1 chỉ điểm lõm và 0 chỉ điểm lồi. Từ đó cho thấy hệ đếm cơ số 2 thích hợp
cho việc ghi nhận thông tin trong các máy tính khi các thông tin được mã hoá bằng các chữ số.
Theo ngôn ngữ máy tính, một con số ghi theo hệ đếm nhị phân là một bit, tám bit được gọi là một
kí tự (byte).
Việc dùng hệ đếm nhị phân trong máy tính quả là rất tự nhiên, nhưng đứng về phương diện
giao lưu giữa máy và người thì cũng có nhược điểm quan trọng là các số tự nhiên ghi theo hệ đếm
nhị phân viết rất dài. Như con số 1000 trong hệ đếm thập phân nếu viết dưới dạng hệ đếm nhị

phân sẽ là 11000011010100000, quả là rất dài.
Để giải quyết khó khăn này, trong lí thuyết về máy tính người ta sử dụng hai hệ đếm bổ trợ là
các hệ đếm cơ số tám và hệ đếm cơ số 16. Nhờ đó một con số có ba chữ số trong hệ đếm cơ số hai sẽ
là một con số có một chữ số trong hệ đếm cơ số tám chỉ bằng 1/3 độ dài của con số viết theo hệ đếm
cơ số hai, so với con số viết theo hệ đếm cơ số tám không khác mấy so với con số viết theo cơ số 10.
Ví dụ con số 100.000 viết theo hệ đếm cơ số tám sẽ là 303240. Tương tự một con số có một chữ số
viết theo hệ đếm cơ số 16 đại diện cho một con số có 4 chữ số trong hệ đếm cơ số hai. Một kí tự
tương ứng với một con số có hai chữ số trong hệ đếm cơ số 16. Trong hệ đếm cơ số 16 cần có 16 kí
hiệu độc lập. Thực tế người ta dùng chữ số tự nhiên 1,2 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và các chữ cái A, B, C, D, E,
F đại diện cho các số 10, 11, 12, 13, 14, 15 (các chữ số trong hệ đếm thập phân). Như vậy con số
100.000 được viết là 186A0. Việc chuyển đổi từ hệ đếm nhị phân sang hệ đếm cơ số tám và cơ số
16 khá đơn giản; và việc phối hợp sử dụng hệ đếm cơ số tám và cơ số 16 sẽ tránh được phiền phức
khi viết những con số quá dài trong hệ đếm cơ số hai. Hệ đếm cơ số 8 và cơ số 16 đã trợ giúp đắc
lực cho việc giao lưu giữa người và máy tính.
Từ khoá: Hệ đếm cơ số 10; Hệ đếm cơ số 2; Hệ đếm cơ số 8; Hệ đếm cơ số 6.

5. Vì sao khi đo góc và đo thời gian lại dùng đơn vị
đo theo hệ cơ số 60?
Đơn vị đo thời gian là giờ, đơn vị đo góc là độ, nhìn bề ngoài chúng không hề có mối liên quan
gì với nhau. Thế tại sao chúng lại được chia thành các đơn vị nhỏ có tên gọi giống nhau là phút và
giây? Tại sao chúng lại sử dụng cùng hệ đếm cơ số 60?
Nghiên cữu kĩ hơn một chút ta sẽ thấy hai loại đơn vị đo lường này quả có mối liên hệ hết sức
mật thiết với nhau. Ngay từ thời cổ đại, do nhu cầu của lao động sản xuất, con người phải nghiên
cứu thiên văn và đặt ra lịch pháp và vì vậy có sự đụng chạm tự nhiên với việc đo góc và đo thời
gian. Khi nghiên cứu sự thay đổi đêm ngày, người ta phải quan sát sự chuyển động tự quay của
Trái Đất. Và rõ ràng góc của chuyển động tự quay và thời gian là có liên quan mật thiết với nhau.
Vì trong lịch pháp người ta cần độ chính xác rất cao trong khi đó đơn vị đo “giờ” và đơn vị đo “độ”
là rất lớn nên cần phải tìm các đơn vị đo nhỏ hơn. Các đơn vị nhỏ hơn để đo thời gian và góc phải
có tính chất chung là: Đơn vị nhỏ này phải có bội số là 1/2,1/3,1/4,1/5,1/6 . Nếu lấy 1/60 làm đơn vị
thì hoàn toàn đáp ứng được yêu cầu đó. Ví dụ 1/2 chính là 30 lần của 1/60 ,1/3 là 20 lần của 1/60 ,1/4
là 15 lần của 1/60 ...
Trong toán học, người ta chọn đơn vị 1/60 gọi là “phút” và kí hiệu “,” (dùng cho đo góc) và ph
hoặc min (dùng cho đo thời gian) và dùng đơn vị 1/60 của phút là “giây”, kí hiệu “,,” (dùng cho đo
góc) và s (dùng cho đo thời gian). Thời gian và góc đều lấy phút và giây làm các đơn vị nhỏ là vì
thế.
Dùng các đơn vị hệ đếm cơ số 60 trong nhiều trường hợp cũng có nhiều thuận lợi. Ví dụ số 1/3
nếu dùng hệ đếm thập phân thì phải biểu diễn thành một số lẻ vô hạn, trong khi dùng hệ đếm cơ số
60 thì được biểu diễn bằng một số nguyên.
Hệ đếm cơ số 60 đã được các nhà khoa học trên thế giới dùng trong thiên văn và lịch pháp và
còn được duy trì cho đến ngày nay.
Từ khoá: Đo thời gian; Đo góc; Hệ đếm cơ số 60.

6. Làm thế nào để nhận biết một số tự nhiên chia hết

cho 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11?
Việc phán đoán về tính chia hết của một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác là một yêu cầu
thường gặp trong cuộc sống. Đương nhiên nếu trong tay bạn có một máy tính, bạn chỉ cần đặt một
phép tính hợp lý là tính toán xong. Khi số chia là số đơn giản (ví dụ số có một chữ số) thì có thể
dùng một số quy tắc phán đoán. Khi các bạn nắm được các quy tắc thì không cần có máy tính, bạn
cũng có thể giải bài toán về tính chia hết khá nhanh chóng.
Quy tắc phán đoán về tính chia hết có hai loại: Một là, xem chữ số cuối hoặc mấy chữ số cuối
của các con số như ở các mục 1 và 2, sau đây; hai là tính tổng các chữ số trong con số hoặc xem xét
các hệ số thích hợp cho các tổng mà phán đoán như ở các mục từ 3 đến 6.
1. Một số tự nhiên là số lẻ sẽ không chia hết cho 2; một số chẵn chia hết cho 2. Ví dụ các số 0,
2, 4. 6,...sẽ chia hết cho 2, còn các số lẻ như 1,3, 5, 7,...không chia hết cho 2.
2. Một số tự nhiên sẽ chia hết cho 5 nếu chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc 5; một số tự nhiên
chia hết cho 25 nếu hai chữ số cuối của số đó là 00, 25, 50 hoặc 75, ví dụ số 120795 có thể chia hết
cho 5 nhưng không chia hết cho 25.
3. Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Một số chia hết cho 9 nếu
tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Ví như số 147345 thì tổng các chữ số của số đó là 5 + 4 + 3
+ 7 + 4+ 1 = 24 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số trên chỉ chia hết cho 3 mà không
chia hết cho 9.
Vì sao lại có quy tắc dự đoán khá đơn giản như vậy?
Giả sử cho số:
A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 + ...
trong đó a0, a1, a2, a3...là chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn...của số A; ta
có thể viết:
A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 + ...
= [ (10 - 1) a1 + (102 - 1)a2 + (103 -1) a3] + (a0 + a1 + a2 + a3 +...).
Dễ dàng nhận thấy 10n-1 là bội số của 3 và 9 vì vậy nếu số hạng thứ hai của biểu thức số A
(biểu thức trong ngoặc đơn) viết ở trên là bội số của 3 và 9 thì số A sẽ chia hết cho 3 và 9. Từ đó ta
đi đến quy tắc nếu a0 + a1 + a2 + a3 + ... là bội số của 3 hoặc 9 thì số A chia hết cho 3 hoặc 9.
4. Một số chia hết cho 4 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục nhân đôi chia
hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4. Một số tự nhiên chia hết cho 8 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị
cộng với chữ số hàng chục nhân đôi và chữ số hàng trăm nhân 4 chia hết cho 8 thì số đó chia hết
cho 8. Ví dụ số 1390276 chia hết cho 4 vì 6 + 2 x 7 = 20 chia hết cho 4 nên số 1390276 chia hết cho
4. Số 1390276 không chia hết cho 8 vì theo quy tắc 6 + 2 x 7 + 4 x 2 = 28 không chia hết cho 8.
Cách chứng minh quy tắc vừa nêu cũng tương tự như cách chứng minh ở 3.
Ta viết ví dụ:
A = [ (10 - 2) a1 + (102 - 4)a2 + 103a3 + ...] +(a0 + 2a1 + 4a2).
Dễ dàng nhận thấy biểu thức trong ngoặc vuông là bội số của 8 và A sẽ chia hết cho 8 nếu hạng

số thứ hai của A phía bên phải (biểu thức trong ngoặc đơn) là bội số của 8.
5. Một số chia hết cho 11 nếu hiệu số của tổng các số chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là bội số
của 11. Ví dụ với số 268829 tổng các chữ số ở hàng lẻ 9 + 8 + 6 = 23, tổng các chữ số hàng chẵn là 2
+ 8 + 2 = 12 hiệu của chúng đúng bằng 11 nên số này sẽ chia hết cho 11. Lại như với số 1257643 thì
hiệu của hai tổng các chữ số là (3 + 6 + 5 + 1) - (4 + 7 + 2) = 2. Vì không phải là bội số của 11 nên số
này không chia hết cho 11. Để chứng minh quy tắc ta viết:
A = [ (10 + 1)a1 + (102 - 1)a2 + (103 + 1)a3 + (104 - 1)a4 +...] + [(a0 + a2 +...) - (a1 + a3 + ...)].
Số hạng thứ nhất của A là bội số của 11 nên nếu số hạng thứ hai là bội số của 11 (hiệu của tổng
các chữ số ở hàng chẵn và các chữ số ở hàng lẻ) đương nhiên là A sẽ chia hết cho 11.
6. Chứng minh quy tắc chia hết cho 7 khá phức tạp mà ý nghĩa thực tiễn lại hạn chế nên ở đây
chỉ giới thiệu quy tắc mà không đi sâu vào cách chứng minh.
Bạn hãy nhớ kĩ dãy hệ số tuần hoàn sau đây: 1, 2, 3, -1, -2, -3, 1, 3, 2,...
Muốn phán đoán về tính chia hết của một số tự nhiên bất kì có chia hết cho 7 hay không các
bạn hãy nhân các chữ số với dãy số đã nêu, sau đó tính tổng số của chúng. Ví dụ, bạn hãy nhân các
chữ số bắt đầu từ chữ số đơn vị là hệ số 1, chữ số hàng chục là hệ số 3, chữ số hàng trăm với hệ số 2,
chữ số hàng ngàn với hệ số -1, v.v. rồi tính tổng đại số của các tích thu được. Nếu tổng số vừa tính
được chia hết cho 7 thì số đó sẽ chia hết cho 7. Ví dụ xét số 5125764 chia hết cho 7 vì:
4 + 2 x 6 + 2 x 7 - 5- 3 x 2 -2 x 1 + 5 = 28 chia hết cho 7.
Khi xét tính chia hết của một số tự nhiên ta cần chú ý đến tính chất quan trọng sau đây: Nếu
một số A đồng thời chia hết cho hai số p và q thì cũng chia hết cho tích số p x q của hai số. Ví dụ số
5125764 đồng thời chia hết cho hai số 7 và 4 nên số này sẽ chia hết cho tí